股价分布与波动率。BS模型所假设的股票价格的分布和实际分布不同，根据模型得到的避险头寸值也就并不准确，这也造成动态复制的成本偏离期权价格。

　　针对BS模型的这些与实际不符的假设条件，很多学者进行了修正与推广，主要地可分为两类:不完美市场，包括引入交易成本及非连续避险；股价收益率及波动率分布过程，采用与BS模型不同的假设。另外，也存在其它一些修正，如针对BS模型中利率固定的假设，引入随机利率模型等。

　　不完美市场

　　Leland(1985)开创性地提出对BS模型采用一种修正的波动率，来解决交易成本带来的避险误差问题。其基本思想是:在连续时间的BS模型框架下，假设在给定的时间间隔进行避险调整，通过在波动率中加入包含交易成本的因素，使得期权价格的增加恰好能抵消交易成本，从而对BS公式做出修正，使之仍可应用于避险操作。

　　Leland模型虽然比BS模型有所改进，但其策略并不是最优策略。有研究表明，这种避险策略并不能精确地避险。Whalley和Wilmott(1997)通过对最优化系统的渐进分析，提出了一个相对容易实行的避险算法。他们提出一个决策规则，在每个时间瞬间监控股价并决定是否进行避险头寸调整，从而解决巨幅累积交易成本的问题。其基本思想是，投资者的Delta避险策略由市场的运动决定，如果Delta与实际持有的资产数量的差大于投资者指定的避险带，则资产组合就需要重新调整到Delta。期权价值还是由期望收益率等于无风险利率决定。

　　股价收益率及波动率分布

　　虽然BS模型被广泛应用于权证的定价，但对标的股价的实证研究表明，BS模型并不能很好地刻划股价波动率的以下几方面的特征:(1)波动率微笑。按照BS模型的假设，隐含波动率应该与执行价无关且是常数，而实际上隐含波动率作为执行价格的函数曲线呈现两头上翘的形态。(2)肥尾分布，即资产收益率分布在极端情况的概率大于相应的正态分布的概率，呈现肥尾分布。(3)群聚现象，即波动率一个时期高而另一个时期低，且在不同时期间的变换是不可预测的。(4)均值回复，即波动率围绕一个常数值震荡，意味着波动率倾向于回到长期均值的水平。(5)杠杆作用，即波动率与股价运动之间存在负相关关系。(6)其他经验特征，如隐含波动率期限结构、隔夜与周末效应、分红效应、溢出效应、信息到达效应等。

　　因此，对于经典的BS模型假定标的资产价格服从几何布朗运动、波动率为常数这些假设，学者们提出了多种修正、推广建模方法。

　　Merton(1976)提出股价路径应是一个跳跃扩散过程。如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话，就属于可分散风险，可分散风险不应该获得期望收益。利用几何布朗运动描述只有系统风险的资产价格运动，用Poisson随机过程描述产生非系统风险的偶然的资产价格的跳跃，并且假设跳跃幅度服从正态分布，通过求解随机方程可得出期权定价公式。

　　对于BS模型中波动率为常数的修正，大致上可根据所指定的波动率函数的特点分为两类:确定性波动率模型:这类模型是将波动率作为标的股票价格水平的函数，主要包括方差弹性为常数的CEV模型及IDV模型；随机波动率模型:它们假设波动率服从一个随机过程。这两类模型均需要利用期权市场的数据来估计模型的参数。

　　由于我国大陆市场目前尚不存在权证市场，定价模型的定价效率尚无法进行检验。我们采用MonteCarlo模拟的方法，研究了在间断避险及存在交易成本情况下，各种避险策略的避险效果问题。检验的避险策略包括固定时点的BS模型、固定时点的Leland模型、Delta区间避险及Whalley－Wilmott避险带策略。结果发现Whalley－Wilmott避险带策略要优于其它避险策略。

　　我们对各种避险策略效果的检验过程中，采用的衡量标准是VaR值。值得说明的是，不同的衡量标准可能会产生不同的结论。由于采用MonteCarlo模拟的方法，在检验过程中也没有考虑随机波动率、买卖价差及股价的跳跃等问题。另外，检验过程也没有考虑我国市场的一些特殊情况，比如卖空及涨跌幅限制等。这些都是后续研究应注意的问题。（国泰君安证券股份有限公司新产品开发部课题组）

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